La estética matemática del ajedrez

"Existencia y unicidad" es una pareja de términos clave para entender en qué consiste el componente estético de las matemáticas, al igual que conceptos como "simetría" o "simplicidad", que están -quizá- mucho más promocionados (Estoy pensando en lo que se puede leer en los libros de Marcus du Sautoy o Brian Greene, por ejemplo). Recuerdo que había varios chistes que se metían con esa idea de que en las matemáticas uno solía podía probar en efecto la existencia de una solución y, con suerte, su unicidad (es decir, el hecho de que no podía existir ninguna otra solución). Por ejemplo, está ese típico de un matemático que se pierde en un bosque y después de horas pensando exclama "¡oh, hay solución... y además es única!" y ese tipo de cosas. Esos chistes, claro, supongo que los contábamos sobre todo en las clases de física (qué cosas, oye), donde tener una descripción concreta de la solución es que lo que te da de comer. Hasta en xkcd hay una viñeta aprovechando el tema, cómo no....

Más allá de la broma, está el hecho de que muchas veces en matemáticas se lidian con problemas muy complejos con unas exigencias de rigor muy altas y, desde ese punto de vista, probar la existencia y la unicidad es casi la totalidad de lo que puedes hacer, si es que se puede hacer (y será considerado, por supuesto, como "la solución al problema"). 

Bueno, más allá de todo esto, que comento así superficialmente y que no tiene mucho más (salvo que se quisiera hacer un estudio detallado sobre la estética de las matemáticas, en cuyo caso me parece algo esencial y que hay que entender con detalle; guiño, guiño, ¿por qué no hay alguien haciendo esto?), en este pequeño escrito completamente intrascendente para cualquier aspecto de vuestra vida y desentendido de cualquier problema de la realidad (y mira, qué descanso no tener que hablar de la realidad, en verdad), quería hablaros de porqué todo esto de la "existencia y la unicidad" es la clave que define, para mí, qué es la elegancia y la belleza en ajedrez. Y, en concreto, en los problemas de ajedrez. 

[Nota: ¿Por qué me pongo a escribir sobre esta cosa? ¿Qué me pasa en el cerebro? Ayuda, esto no es una nota, os suplico ayuda]

Desde pequeño, el ajedrez ha sido una de mis aficiones favoritas. Desde que mi abuelo me enseñara, al estilo Capablanca, a manejar las posiciones con pocas piezas y los finales más sencillos, he jugado partidas, estudiado aperturas, seguido torneos,....   Una parte del ajedrez que, aunque siempre he tenido presente, nunca había valorado tanto como hasta ahora es el curioso mundo de los problemas y composiciones. Es muy típico, sobre todo cuando estás aprendiendo cosas básicas de táctica y tal, que te den las típicas baterías de problemas de "mate en 2", "mate en 3", etcétera. Típicamente son posiciones de apariencia realista, que perfectamente podrían darse en una partida de verdad. Pero lo que realmente es otro mundo es toda esa colección inmensa de posiciones surrealistas y fantasiosas donde usualmente la ventaja material es aplastantemente decisiva y lo que se nos pide es (¡qué irritación!) la cursilería de dar un mate en tres ("por dios, he tardado treinta segundo en encontrar un mate en cuatro, ¿de verdad quieres que siga otros diez minutos buscando tu mate en tres?"). Pues bien, lo que quiero contar es que son precisamente este tipo de problemas, las composiciones ajedrecísticas, las que poseen un tipo de belleza más sutil, profunda y matemática ("esa belleza fría y austera...") que cualquier otra parte del ajedrez. La clave de este tipo de problemas no es la tontería de dar un mate en tres en lugar de en cuatro, "porque en una partida de verdad me valdría dar el de cuatro". No. La clave está en que este tipo de composiciones, muy ingeniosas siempre, presentan posiciones donde existe una única solución como la que se pide (igual hay muchos mates en cuatro, ¡pero sólo hay UN mate en tres!) y en donde todas las piezas y sus ubicaciones son necesarias y suficientes para desarrollar la idea del problema. Ésta es la esencia de la belleza en una composición ajedrecística. Veámoslo con un ejemplo, creado por el alemán Hoffmann en 1887 y que es el primer problema que os encontraréis si abrís Problemas para gente sin problemas, que es un librito pequeño y maravilloso que recomiendo muchísimo a cualquiera que le guste el ajedrez.:

En esta posición, las blancas juegan y dan mate en tres jugadas. Sí, lo sé. Cualquiera con un entrenamiento básico sabe que coronando Dama en c8, e8 o g8 se puede ganar fácilmente en pocas jugadas. Pero ésa no es la cuestión. La cuestión es que, como ya os he anticipado, sólo hay una manera de ganar en exactamente tres jugadas y, sorpresa sorpresa, ¡esa manera no involucra coronar una Dama en ningún lado! La sorpresa, ay. Otro elemento clave de la experiencia estética que es tan fundamental en el ajedrez. Es muy típico lo de explotar los temas de coronación de piezas menores, porque resulta fácilmente espectacular. La primera jugada de las blancas en este problema [SPOILERS AHEAD] es un alarde de elegancia que explota al máximo la simetría del tablero:

1. e8=A!!  

Bien, primer punto, coronación en Alfil. ¿Qué contestan las negras? Digamos que capturan en f6

1...Rxf6 (la captura en d6 lleva a una solución simétrica, como podréis comprobar)

¿Y qué hacen las blancas a continuación? ¡Ojito con esa mano que se va a coronar Dama!  El ahogado (dejar al enemigo sin movimientos legales, produciendo así las tablas, es otro elemento con el que se juega muchísimo en las composiciones) le daría un buen respiro al rey negro.... Sí, por supuesto. Lo que hay que jugar es....

2.g8=T!!

La cosa está ya decidida. Es fácil ver cómo ahora la única posibilidad de las negras es 2... Re6 a lo que sigue 3.Tg6++, ¡toma ya!  Ninguna otra secuencia lleva al mate en tres (está, por supuesto, la opción simétrica si el negro capturara en d6, pero la unicidad se da en el sentido de que las blancas sólo tienen una opción a cada paso).

Se puede notar, además, cómo otra característica de este problema es que absolutamente todas las piezas de este problema juegan un papel esencial, necesario y suficiente. Hasta la posición del rey blanco es fundamental. ¿No es una pasada de elegancia? Además, este problema tiene algo más que por supuesto llama la atención: la simetría. En fin, un 10 para Hoffmann. Éste problema me encanta y pasó un tiempo después de resolverlo, cuando lo vi por primera vez, hasta que me di cuenta de por qué me gusta tanto: ¡su belleza es completamente matemática!  La experiencia estética es muy similar a la que uno puede tener con un teorema bonito e interesante.

En definitiva, me he tirado el pisto y he pensando que las siguientes reglas definen lo que para mí es una buena composición de ajedrez (en el sentido de que posean una belleza lo más matemática posible):

-La solución debe ser única (en el sentido de que la secuencia de jugadas de las blancas debe ser una secuencia de únicas)

-Cada una de las piezas en el tablero y su ubicación, ya sea ayudando al mate u obstaculizándolo (ojo, ambas cosas pueden ser hechas por piezas de cualquiera de los dos bandos), debe ser necesaria para el tema de la composición.

-La secuencia tiene que incluir el elemento sorpresa, que puede venir por coronaciones de piezas menores, rupturas de simetrías, desplazamientos de larga distancia (los típicos barridos de larga distancia con la dama para irse a una posición insulsa) o movimientos aparentemente pasivos.

-Tiene que haber "trampas". Es decir, esos momentos de "¡Ah, ya..! ah, no". El problema es tanto más bonito cuantas más ideas haya que parezcan funcionar, pero que realmente fracasen.

El libro de René Mayer que he comentado -lo podéis encontrar en Madrid en La Casa del Ajedrez, por ejemplo- es uno de los mejores regalos que creo que se le puede hacer a alguien que le guste el ajedrez. Ejemplos como el del diagrama de arriba hay a centenares, y en concreto en este libro hay 192 composiciones (algunas mejores que otras, pero todas muy divertidas y prácticamente todas con el estilo estético de la que hemos comentado) más luego una colección de problemas lógicos relacionados con el ajedrez que también son muy divertidos. Son esos primeros 192 problemas, más muchos más que se pueden encontrar fácilmente en Internet, en los que me baso para decir NO ya que las reglas que he escrito arriba son las que debéis seguir para componer un buen problema de ajedrez (aunque realmente así lo creo), no, SINO que son esas reglas las que, de manera inconsciente, se han aceptado por la comunidad ajedrecística como los aspectos abstractos que hacen que un problema sea bonito y admirable. Es decir, de alguna manera con esas reglas no estoy tratando de dar directrices a nadie, sino que he intentado destilar cuáles son las ideas y motivos que hacen que los ajedrecistas disfruten y valoren una composición concreta. Y, no muy sorprendentemente,  esas ideas y motivos son genuinamente matemáticas.

Ojo. Lo que he dicho se refiere a las composiciones más clásicas de ajedrez, las de "mate en N" con pocas piezas y tal. Hay toda una familia de tipos de problemas, más surrealistas aún, en que se preguntan cosas como "¿cómo se pudo llegar a esta posición?" o "¿cómo no dar mate?". Algunas composiciones son casi un chiste, como el "Excelsior" de Sam Loyd, que es el más genial problemista de toda la historia, porque conseguía crear problemas monstruosamente originales, divertidos y difíciles saltándose a la torera cuando le venía en gana las reglas que yo he dictado -que si bien nadie enunció, creo que todo el mundo sabía que había de respetar, al menos a un nivel inconsciente-.  Pero bueno, yo estoy contando algo más bien clasiquete, que se aplica a más de tres cuartas partes de las composiciones de ajedrez que existen (en mi opinión), así que no me mareéis la perdiz con Sam Loyd y compañía, que sería un poco como refutar la Poética de Aristóteles con un vídeo de los Monty Python (salvando las distancias: Ya sé que Aristóteles es mucho más complejo que esta chorrada que me he montado, aunque la verdad es que no jugaba tan bien al ajedrez)

Para rematar, os dejo otro problema, de nada menos que Anderssen (uno de los grandes ajedrecistas del periodo romántico; qué hacéis viendo mierdas ultra-computacionales de Kramnik, venga a ver partidas de Morphy y Anderssen) que conocí hace poco y que me encantó. Blancas juegan y dan mate en cinco jugadas. Este problema carece de ese elemento estético (que por regla general yo diría que es MUY importante) de que todas las piezas sean estrictamente necesarias y suficientes. No obstante, tiene algo muy bonito: Aparte de tener, por supuesto, una solución única, la posición es realista y de no encontrar la secuencia ganadora, la victoria sería para las negras. Es una composición anómala para ese canon de belleza que con tanto morro estoy definiendo aquí para los problemas de ajedrez, así que cuando lo vi lo desprecié como algo que "bah, no es tan matemático", pero según fui pensando en él me fue gustando más por lo que ya he dicho. Os lo dejo (sin solución), para que no penséis que soy inflexible y un hooligan de mi propia teoría estética (-:

A disfrutarlo.

Sobre el determinismo

 Hay un chiste de esos típicos de internet según el cual dos causas de la Primera Guerra Mundial son "la función de ondas del universo" y "las condiciones de contorno del universo".

Parte de la idea de la broma es la referencia a esa perspectiva, no muy popular, de que absolutamente todo lo que existe y acontece está determinado necesariamente por el funcionamiento de las leyes fundamentales de la naturaleza, sean éstas las que sean. Desde este punto de vista, que podríamos llamar determinismo radical, cada cosa que sucede en el mundo, incluso el más pequeño detalle, no es sino una consecuencia matemática de unas leyes ineludibles. La complejidad de esas leyes -o, por lo menos, nuestra capacidad de aplicarlas a sistemas grandes-, siempre se asume, claro está, como un factor limitante insuperable que hace que, en la práctica, jamás vayamos a disponer de ese poder predictivo infinito. Sin embargo, la noción filosófica de que todo está ya predestinado, aunque no podamos saber exactamente de qué manera, es sin duda muy potente. 

Esta visión de las cosas, que puede pensarse como un optimismo cientifista, viene del triunfalismo típico del racionalismo de la Ilustración. La mecánica newtoniana tuvo éxitos brutales como herramienta predictiva y explicativa en el campo de la Astronomía y la Mecánica Celeste, y la exactitud y precisión de las Matemáticas y la Astronomía de la época, algo muy nuevo, era una de las cosas más impresionantes que había logrado hacer el Ser Humano hasta el momento. El optimismo subsiguiente, claramente justificado, llevó a David Hume a decir que, desde ese momento, las Ciencias Humanas y Sociales debían hacer lo posible por imitar el modelo de la Mecánica y llegar a un estado parecido al de ésta. 

El progreso en Matemáticas, Astronomía y Química llevó, ya en el siglo XVIII, a una concepción epistemológica que en el siglo XIX se arraigaría aún mucho más profundamente: El realismo puro o realismo ingenuo; es decir, esa visión de que las teorías científicas nos permitían un conocimiento exacto de la realidad y que el conocimiento consistía en realizar representaciones y construcciones mentales que fuesen isomorfas a la realidad extramental. Ésta era sin duda la filosofía de la ciencia de grandes científicos como Laplace o Lord Kelvin. Precisamente Laplace fue uno de los matemáticos más hábiles de su época y llevó la capacidad matemática de la ciencia de la Mecánica mucho más allá de lo que el propio Newton había logrado, de modo que se le puede considerar, en gran parte, uno de los principales responsables de la radicalización del optimismo racionalista que siguió a la Ilustración

                                          Laplace; quien ya sabía que esta imagen iba a acabar aquí

Laplace, seguramente bastante entusiasmado con sus propios descubrimiento, se convirtió en un símbolo de ese determinismo radical que el racionalismo ilustrado había motivado. Quizá uno de los pasajes más citados de todo lo que han escrito el conjunto de todos los matemáticos a lo largo de la historia sea aquél, en su Ensayo Filosófico sobre de las Probabilidades, que dice:

Una inteligencia que en un instante dado supiera todas las fuerzas que actúan en la naturaleza y la posición de cada objeto en el universo - si estuviese dotada de un cerebro suficientemente vasto para hacer todos los cálculos necesarios - podría describir con una sola fórmula los movimientos de los mayores cuerpos astronómicos y los de los átomos más pequeños. Para tal inteligencia, nada sería incierto, el futuro, como el pasado, serían un libro abierto

En este fragmento, Laplace expresa su convencimiento de que, aunque los cálculos necesarios sean inimaginablemente complicados, y aunque nos falte una inmensidad de datos experimentales como para disponer de las necesarias "condiciones iniciales", en última instancia toda la experiencia se deriva por necesidad matemática de las leyes básicas de la naturaleza de una manera tan inevitable como las trayectorias planetarias que los astrónomos podían derivar de las leyes newtonianas mediante el análisis matemático. Hay un cambio cuantitativo, una escalada colosal en complejidad, pero cualitativamente nada ha cambiado: hay unas leyes básicas, que los ilustrados y los realistas ingenuos del XIX estaban bastante seguros de estar descubriendo en su totalidad, y a partir de ahí sólo queda lo inevitable, lo necesario. Esto es lo que se llama Determinismo Nomológico: la idea de que cualquier momento del tiempo determina el pasado y el futuro en su totalidad a través de lo que dictan unas leyes rígidas. O eso pensaban entonces. Se trata de una cosmovisión muy platónica, puesto que presenta una visión del conocimiento como un constructo perfecto y sin defectos, cuya única fuente de discrepancia con la realidad, así como las limitaciones de su aplicabilidad, no son sino fruto de las imperfecciones e incapacidades humanas. 

Cuenta una anécdota que Laplace, feliz de haber podido calcular detalles de las órbitas que se le habían resistido a Newton -quien había achacado esos aparentemente incalculables detalles a la intervención divina- fue interrogado por el mismísimo Napoleón acerca de por qué no hablaba de Dios en su libro de Mecánica Celeste. Laplace, orgulloso, respondió: "Señor, no he precisado tal hipótesis".  El Materialismo había terminado de asentarse en el Mundo. Y la culpa, sin duda, era de las Matemáticas.

La versión más radical del determinismo es su extensión al mundo de las acciones humanas. Si se sigue de manera lógica las implicaciones del materialismo, tenemos que aceptar que los pensamientos y sentimientos son, al fin y al cabo, manifestaciones macroscópicas de la dinámica microscópica de nuestras neuronas y sus conexiones, que están al fin y al cabo formadas por átomos sometidas a las mismas leyes fundamentales a las que se encuentran sujetas los átomos que conforman los cuerpos astronómicos. ¿Debido a qué, entonces, podríamos pensar que nuestra conciencia, por mucha conciencia que sea, puede tener más suerte eludiendo la necesidad que Júpiter o sus lunas? Sin duda, los sentimientos y pensamientos humanos son la cosa más compleja que existe en el universo, y nadie alberga, ni siquiera Laplace, creo yo, ninguna ilusión reduccionista al respecto, lo cual sería absurdo. Sin embargo, eso no quita validez a la reflexión de que, en última instancia, cada pensamiento, cada acción y decisión que tomamos, estaba ya implícita en el mismísimo momento del Big Bang como una consecuencia matemática de las leyes fundamentales que rigen el Universo. ¿No...? Como si de un pueblecito galo resistiendo todavía y siempre al invasor se tratase, el mundo de las acciones humanas parece que se ha resistido con mucho éxito a las perspectivas deterministas propias del Materialismo y el Cientifismo radical. No está claro que pensaba Laplace al respecto, aunque es probable que él negase en efecto rotundamente el Libre Albedrío. Pero está claro que comunmente no se tienen muchos reparos en conciliar el Materialismo con la creencia en el Libre Albedrío -aunque no está para nada claro, en mi opinión, cómo se justifica esa conciliación-. Esa idea, extraña y chirriante en el contexto del Materialismo, de que el Determinismo y el Libre Albedrío pueden convivir es lo que se ha llamado Compatibilismo. 

Varios compatibilistas argumentan, sin embargo, que el Materialismo no puede dar una perspectiva completa del Mundo, y que son precisamente esos elementos no materiales que forman una parte esencial del Universo los que dan cuenta de cómo el Libre Albedrío y el Determinismo Nomológico laplaciano pueden ser ambos ciertos al mismo tiempo. El determinismo "duro",  por otra parte, parece la consecuencia lógica de la combinación de Materialismo y Determinismo causal, y es probablemente la postura que habría defendido Laplace. Especialmente divertido, y que da un poco de rabia, es la postura de la esquina inferior izquierda en la imagen arriba, el Incompatibilismo Duro. Por cualquier razón, se rechaza el Determinismo pero, más importante, se cuenta que esto es irrelevante para la cuestión del Libre Albedrío, pues nuestras acciones y decisiones tienen un componente de aleatoriedad que no somos capaces de controlar.

Tantas decisiones.... ¿pero somos libres para tomarlas?

El Mundo y el conocimiento, claro está, han cambiado mucho desde los siglos XVIII y XIX. El comienzo del siglo XX vió dos revoluciones científicas, la Relatividad y la Cuántica, que cambiaron de manera profundísima la Ciencia. Estos cambios trajeron consigo además cambios de paradigma muy pronunciados no sólo en las Ciencias, sino también en Epistemología. El realismo ingenuo de Lord Kelvin o Kirchoff murió definitivamente para dar paso un Instrumentalismo incipiente, en el cual las teorías científicas se consideraban como instrumentos de descripción de la realidad con poder predictivo. Las ecuaciones y fórmulas de las teorías ya no son cosas isomorfas al mundo exterior, no son descripciones perfectas de la naturaleza en su lenguaje esencial, como les habría gustado a Galileo o a Kepler, sino aproximaciones muy buenas a la realidad en ciertos contextos donde se pueden contrastar. 

La revolución cuántica supuso un repensar el Determinismo causal. La incertidumbre no era ya una mera referencia a la ignorancia humana, sino una característica esencial de la descripción más profunda y exitosa que tenemos de la realidad atómica y subatómica. Sin embargo, ¿se puede decir de algún modo que la Cuántica invalide el Determinismo, en concreto ese Determinismo laplaciano del que hemos hablado todo el tiempo? Las ecuaciones básicas de la cuántica son deterministas en sí -de hecho, no recuerdo que haya ninguna ley que se considere "fundamental" que sea de naturaleza estocástica-  y el indeterminismo surge en el proceso de medir y acceder a la información del estado del sistema siendo medido. ¿Se puede entonces seguir manteniendo esa idea de que todo lo que acontece se sigue de manera matemática y necesaria de leyes fundamentales y que ya estaba implícito y destinado a ocurrir desde el origen del Universo? Claro que, por otra parte, si se argumentara que no es así, se estaría razonando que hay una aleatoriedad esencial en el funcionamiento del Mundo, lo cual no tiene ningún impacto sobre la negación del Libre Albedrío. Desde un punto de vista materialista, pues, es controvertida la validez del Determinismo. Pero lo que no parece razonable es la defensa del Libre Albedrío: O bien todo está predeterminado, en sentido laplaciano, o bien la aleatoriedad indeterminista -¿cuántica?- es una característica esencial del Universo que, en particular, afecta -quizá- a nuestras neuronas y a nuestro cerebro. En cualquier caso, puesto que no tendríamos poder alguno sobre esa aleatoriedad, no tiene sentido la noción de "decidir algo". Como dijo el siempre alegre y lleno de vida Schopenhauer, "Podemos hacer lo que queramos, pero no podemos querer lo que queramos". A ver si va a tener razón esa gente del Incompatibilismo Duro y voy a tener que ir a partirles las piernas. Total, no soy libre de no hacerlo. ¿O sí?